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正 文

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷(全国卷)


关键字:

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷12页。第Ⅱ卷34页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项:

1.答题前,考生在答题卡上务必用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。   

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1.设集合U=6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

       A6ec8aac122bd4f6e     B6ec8aac122bd4f6e     C6ec8aac122bd4f6e        D6ec8aac122bd4f6e

2.函数6ec8aac122bd4f6e的反函数为

       A6ec8aac122bd4f6e                 B6ec8aac122bd4f6e

       C6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e                D6ec8aac122bd4f6e

3.权向量a,b满足6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e

       A6ec8aac122bd4f6e       B6ec8aac122bd4f6e       C6ec8aac122bd4f6e       D6ec8aac122bd4f6e

4.若变量xy满足约束条件6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e的最小值为

       A17        B14             C5              D3

5.下面四个条件中,使6ec8aac122bd4f6e成立的充分而不必要的条件是

       A6ec8aac122bd4f6e         B6ec8aac122bd4f6e 

       C6ec8aac122bd4f6e          D6ec8aac122bd4f6e

6.设6ec8aac122bd4f6e为等差数列6ec8aac122bd4f6e的前n项和,若6ec8aac122bd4f6e,公差为6ec8aac122bd4f6e,则k=

       A8       B7       C6       D5

7.设函数6ec8aac122bd4f6e,将6ec8aac122bd4f6e的图像向右平移6ec8aac122bd4f6e个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则6ec8aac122bd4f6e的最小值等于

       A6ec8aac122bd4f6e         B6ec8aac122bd4f6e         C6ec8aac122bd4f6e         D6ec8aac122bd4f6e

8.已知二面角6ec8aac122bd4f6e,点6ec8aac122bd4f6eC为垂足,点6ec8aac122bd4f6eD为垂足,若AB=2AC=BD=1,则CD=

       A2       B6ec8aac122bd4f6e   C6ec8aac122bd4f6e  D1

94位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有

       A12 B24 C30 D36

10.设6ec8aac122bd4f6e是周期为2的奇函数,当0x1时,6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e=

       A-6ec8aac122bd4f6e       B6ec8aac122bd4f6e       C6ec8aac122bd4f6e         D6ec8aac122bd4f6e

11.设两圆6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e都和两坐标轴相切,且都过点(41),则两圆心的距离6ec8aac122bd4f6e=

       A4     B6ec8aac122bd4f6e      C8           D6ec8aac122bd4f6e

12.已知平面6ec8aac122bd4f6e截一球面得圆M,过圆心M且与6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,二面角的平面6ec8aac122bd4f6e截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为46ec8aac122bd4f6e,则圆N的面积为

       A6ec8aac122bd4f6e       B6ec8aac122bd4f6e        C6ec8aac122bd4f6e      D6ec8aac122bd4f6e

第Ⅱ卷

注意事项:

1.答题前,考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考  证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页,请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。

3.第Ⅱ卷共l0小题,共90分。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)

13.(1-6ec8aac122bd4f6e10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为:      

14.已知a∈(6ec8aac122bd4f6e),6ec8aac122bd4f6e=      

15.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EC1D1的中点,则异面直线AEBC所成角的余弦值为。

16.已知F1F2分别为双曲线C: 6ec8aac122bd4f6e- 6ec8aac122bd4f6e=1的左、右焦点,点AC,点M的坐标为(20),AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| =       

三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

17.(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效)

设等比数列6ec8aac122bd4f6e的前n项和为6ec8aac122bd4f6e,已知6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

 

18.(本小题满分2分)(注意:在试题卷上作答无效)

ABC的内角ABC的对边分别为abc.己知6ec8aac122bd4f6e

(Ⅰ)求B

(Ⅱ)若6ec8aac122bd4f6e

 

19.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)

        根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。

   I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率;

   II)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

 

20.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)

如图,四棱锥6ec8aac122bd4f6e中, 6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e,侧面6ec8aac122bd4f6e为等边三角形,

6ec8aac122bd4f6e

   I)证明:6ec8aac122bd4f6e平面SAB

   II)求AB与平面SBC所成的角的大小。

6ec8aac122bd4f6e

21.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知函数6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

   I)证明:曲线6ec8aac122bd4f6e处的切线过点(22);

   II)若6ec8aac122bd4f6e处取得极小值,6ec8aac122bd4f6e,求a的取值范围。

22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知O为坐标原点,F为椭圆6ec8aac122bd4f6ey轴正半轴上的焦点,过F且斜率为6ec8aac122bd4f6e的直线6ec8aac122bd4f6eC交与AB两点,点P满足6ec8aac122bd4f6e

(Ⅰ)证明:点PC上;

   II)设点P关于O的对称点为Q,证明:APBQ四点在同一圆上。

6ec8aac122bd4f6e

参考答案

评分说明:

    1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

    2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给力,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。

    3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

    4.只给整数分数,选择题不给中间分。

一、选择题

16  DBBCAD  712  CCBACD

二、填空题

130  146ec8aac122bd4f6e  156ec8aac122bd4f6e  166

三、解答题

17.解:设6ec8aac122bd4f6e的公比为q,由题设得

    6ec8aac122bd4f6e               …………3

解得6ec8aac122bd4f6e            …………6

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e     …………10

18.解:

   I)由正弦定理得6ec8aac122bd4f6e          …………3

    由余弦定理得6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e           …………6

   II6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e          …………8

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e            …………12

19.解:记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;

    B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;

    C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;

    D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;

    E表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

   I6ec8aac122bd4f6e         …………3

    6ec8aac122bd4f6e        …………6

   II6ec8aac122bd4f6e …………9

    6ec8aac122bd4f6e              …………12

20.解法一:

   I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2

    连结SE,则6ec8aac122bd4f6e

    SD=1,故6ec8aac122bd4f6e

    所以6ec8aac122bd4f6e为直角。         …………3

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e平面SDE,所以6ec8aac122bd4f6e

    SD与两条相交直线ABSE都垂直。

    所以6ec8aac122bd4f6e平面SAB        …………6

   II)由6ec8aac122bd4f6e平面SDE知,

    平面6ec8aac122bd4f6e平面SED

    6ec8aac122bd4f6e垂足为F,则SF6ec8aac122bd4f6e平面ABCD

6ec8aac122bd4f6e   

6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e,垂足为G,则FG=DC=1

    连结SG,则6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e平面SFG,平面SBC6ec8aac122bd4f6e平面SFG    …………9

    6ec8aac122bd4f6eH为垂足,则6ec8aac122bd4f6e平面SBC

    6ec8aac122bd4f6e,即F到平面SBC的距离为6ec8aac122bd4f6e

    由于ED//BC,所以ED//平面SBCE到平面SBC的距离d也有6ec8aac122bd4f6e

    AB与平面SBC所成的角为α,

    6ec8aac122bd4f6e         …………12

    解法二:

    C为坐标原点,射线CDx轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz

D100),则A220)、B020)。

又设6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

   I6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

x=1

6ec8aac122bd4f6e

又由6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e        …………3

于是6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

所以6ec8aac122bd4f6e平面SAB

   II)设平面SBC的法向量6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e            …………9

p=26ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

AB与平面SBC所成的角为6ec8aac122bd4f6e

21.解:(I6ec8aac122bd4f6e              …………2

6ec8aac122bd4f6e得曲线6ec8aac122bd4f6e处的切线方程为

由此知曲线6ec8aac122bd4f6e处的切线过点(22     …………6

   II)由6ec8aac122bd4f6e

   i)当6ec8aac122bd4f6e没有极小值;

   ii)当6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e由题设知6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e时,不等式6ec8aac122bd4f6e无解。

6ec8aac122bd4f6e时,解不等式6ec8aac122bd4f6e

综合(i)(ii)得a的取值范围是6ec8aac122bd4f6e   …………12

22.解:(IF01),6ec8aac122bd4f6e的方程为6ec8aac122bd4f6e

代入6ec8aac122bd4f6e并化简得

6ec8aac122bd4f6e                  …………2

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

由题意得6ec8aac122bd4f6e

所以点P的坐标为6ec8aac122bd4f6e

经验证,点P的坐标为6ec8aac122bd4f6e满足方程

6ec8aac122bd4f6e故点P在椭圆C上。            …………6

   II)由6ec8aac122bd4f6e和题设知, 6ec8aac122bd4f6e

PQ的垂直一部分线6ec8aac122bd4f6e的方程为

6ec8aac122bd4f6e        

AB的中点为M,则6ec8aac122bd4f6eAB的垂直平分线为6ec8aac122bd4f6e的方程为

6ec8aac122bd4f6e           

由①、②得6ec8aac122bd4f6e的交点为6ec8aac122bd4f6e        …………9

6ec8aac122bd4f6e

|NP|=|NA|

|NP|=|NQ||NA|=|NB|

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|

由此知APBQ四点在以N为圆心,NA为半径的圆上  …………12

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